Page 125 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

u(t − 4)
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
u(t) Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-

n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
n
dt

1
se dice que es lineal si se verifica a n a n 1 a n
y se hacen los cambios de variables
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
′
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la

se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
t
2
t
4 4

igual a la combinacion lineal de las transformadas. (b) Escal´ on unitario u(t − 4)
(a) Escal´ on unitario u(t)
′
′′
′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
1 2 n−1 n
Figura 5.2: Gr´ aficas de dos funciones escal´ on unitarios [Elaboraci´ on propia].
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
La funci´ on escal´ on unitario puede combinarse x ′ 1 con otras funciones definidas para t ≥ 0 y truncar una
= x 2
Las transformaciones integrales constituyen ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
parte de sus gr´ aficas. Por ejemplo en x 2 = x 3
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
′ tu(t − 2π),t ≥ 0
f(t) = sen
x
transformacion integral general viene dada por n−1 = x n
ocurre que
y en consecuencia
b
a 1
a n−1
a 0 0, 0 ≤ t< 2π;
(4.6)
′
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
f(t)=
a n asen t, t ≥ 2π. a n
a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Observar que f(t) = sen(t) se traslada al punto t =2π y que la porci´ on de ella en el internvalo 0 ≤ t
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien- ≤
2π se hace
temente de la cero; es decir se trunca. Esto se muestra en la figura 5.3. −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.11.2. Segundo Teorema de Traslaci´ on
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′
′′
′′
Teorema 5.5 Si a> 0, entonces
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal. L {f(t − a)u(t − a)} = e −as L {f(t)} = e −as F(s) (5.28)
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′
′′
′′
f(t) 2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)

y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
0
′′ b→∞
′
+1
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
′
′
′′′
′′
y = x = x 2 ,
′
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x

2
3
2π 3π 4π 5π t
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
−1
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
x 1 1
sen(t)
x =
− 2x 2 +3x 3 +
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
Figura 5.3: Funci´ on t trigonom´ etrica f(t) = sen(t) truncada para t< 2π por la combinaci´ on con el escal´ on
2
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
unitario u(t − 2π) [Elaboraci´ on propia].
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 125