Page 124 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
P Parte V: Transformada de Laplacearte V: Transformada de Laplace

u(t − a)
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar

Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el

1
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
Laplace; por ejemplo,
posible.
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)

Reducir el siguiente sistema: a t
Ejemplo 5.1
2 on escal´ on unitario [Elaboraci´ on propia].
Figura 5.1: Funci´ 2 t
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e (4.7)
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
5.11. Transformada de la funci´ on escal´ on unitario y segundo teore-

a la forma normal. L {1} = ∞ e −st (1)dt = l´ım b e −st (1)dt = l´ım −e −st b

ma de traslaci´
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema on b→∞ 0 b→∞ s 0
0
−e −sb + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
t
2
s
5.11.1. La funci´ on escal´ on unitario
b→∞
1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
2
2
= , ∀s> 0
Definici´ on 5.4 La funci´ on escal´ s on unitario (figura 5.1) se define como
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral

0, 0 ≤ t <a;
diverge. u(t − a)= 1,t ≥ a. (5.25)
t
2
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
Se emplea en ingenier´ ıa para describir: 2 una fuerza externa que act´ ua sobre un sistema mec´ anico ´ o un
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
(4.11)
∞
0
voltaje suministrado a un circuito y que pueden ser desconectados despu´ es de cierto per´ ıodo. Tambi´ en
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
es conocida como paso unitario

−st b
∞ −e 1
t dt =
L {1} = e −st 2 s = , ∀s> 0
Du = e − 6t − 9x +4y + u
s
0
Ejemplo 5.18 Dv =3t +2x − 2y 0
2
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
Trace las gr´ aficas de u(t) y u(t − 4).
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Soluci´ on: Para el primer caso, el escal´ on se encuentra centrado en el origen, es decir a =0, por lo que
se puede escribir Dx = u
Evaluar L {t}.

Soluci´ on: Dy = v 0, 0 >t;
u(t)= ∞ (5.26)
2 1,t ≥ 0.
−st
L {t} =
tdt
e
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
y su gr´ afica se muestra en la figura 5.2a. 2 1 −st
Dv =3t +2x − 2
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
Para el segundo caso, a =4 ̸=0, por lo que se puede escribir

−st ∞ −st −st ∞
∞ te 1 ∞ te e
L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − − 2
s
0
0 u(t − 4) = 0 s 0, 0 ≤ t< 4; s s 0 (5.27)
e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados ≥ 4. 0 · e −s·0 e −s·0
−s·∞
−s·∞
∞· e 1,t
=
−
s − s 2 − − s − s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
y su gr´ afica se muestra en la figura 5.2b. 1
=
,
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 .
s
2
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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