Page 123 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
τ
τ
τ
τ
e sen(t − τ)dτ = e sen(t − τ)+ e cos(t − τ) − e sen(t − τ)dτ
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 a 1
a n−1 (n−1)
τ
τ
τ
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
y
e sen(t − τ)dτ
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on = e sen(t − τ)+ e cos(t − τ) + f(t) (4.4)
2
y − . .. −
y −
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica e τ

τ
e sen(t − τ)dτ
y se hacen los cambios de variables = [sen(t − τ) + cos(t − τ)] (5.21)
2
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
Sustituyendo (5.21) en (5.19) y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
′
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
t e τ t

ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
τ
[sen(t − τ) + cos(t − τ)]
se observa que f ∗ g =
e sen(t − τ)dτ =

2

0
igual a la combinacion lineal de las transformadas. 0 0
t
′
′
′′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , e . .., y (n−1) = x ′e = x n , y (n) = x ′
=
n−1[sen(t) + cos(t)]
1 2 [sen(0) + cos(0)] − n
2 2
5.3. Transformaciones = e t 1 [sen(t) + cos(t)]
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales −
2 2
1 x ′ 1 = x 2
t
(5.22)
Las transformaciones integrales constituyen ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
=
e − sen(t) − cos(t)
2 x 2 = x 3
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x ′ = x n
transformacion integral general viene dada por n−1
y en consecuencia
5.10.2. Teorema de convoluci´ on b a 1 a n−1
a 0
(4.6)
′
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
a n
a n
a n
Teorema 5.4 Sean f(t) y g(t) continuas parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial. Entonces
a
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
(5.23)
temente de la L {f ∗ g} = L {f(t)}L {g(t)} = F(s)G(s) −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Ejemplo 5.17

5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
t
e sen(t − τ)dτ .
′
′′
′′
τ
2y − 6y +4y − y = sen(t)
Calcular L
0
Soluci´ on: Se puede identificar f(t)= e y g(t) = sen(t). Por lo tanto
t
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
t
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on = L {f ∗ g} = L {e }L {sen(t)}
t
τ
e sen(t − τ)dτ
L
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
0
1

define como y = y − 2y +3y + 1
′′ 1
sen(t)
′
′′
= 2 2 b
2 ∞ s − 1 s +1
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
1
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
0
′
′′ b→∞
=
2
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
(s − 1)(s + 1)
de s; de otra manera se dice que no ′ 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′
y = x = x 2 ,
′′′
′′
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
Corolario 5.3 Cuando g(t)= 1 y G(s)= 1/s, el teorema de convoluci´ on implica que la transformada
x = f es
de Laplace de la integral de una funci´ on x 1 − 2x 2 +3x 3 + 1 sen(t)
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
′
3
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
t

F(s)
=
f(τ)dτ
L
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T . (5.24)
s
0
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 123
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May