Page 122 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0de manera que:
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica L {ωt cos(ωt) + sen(ωt)} = L d (t sen(ωt))
dt
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
= sL {t sen(ωt)}
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre

d
Laplace; por ejemplo, = s − ds L {sen(ωt)}
posible.

d ω
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
= −s
ds s + ω 2
2

Reducir el siguiente sistema: 2ωs
Ejemplo 5.1 = −s −
2 2
2
(s + ω )
2
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t 2 (4.7)
2ωs
2
2
Soluci´ on: L {ωt cos(ωt) + sen(ωt)} = (s + ω ) (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
2
2 2

−st b

b
−e
a la forma normal. (t)} = sF(s) − f(0), donde donde f(0) no se usa ya que el problema no proporciona
∞
N´ otese que L {f
′

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
s
condiciones iniciales y entonces 0 se b→∞ 0 b→∞ =0 · sen(0) = 0.

0
Soluci´ on: Reescribiendo el sistemasupone f(0) = 0. Adem´ as t sen(t)|
t=t 0
−e −sb + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
t
2
b→∞ s
1 , ∀s> 0 2 (4.10)
2
D y =3t +2x − 2y
=
5.10. Transformada de una integral
s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
5.10.1.
diverge. Definici´ on de la integral de convoluci´ on
2
t
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
Definici´ on 5.3 Si dos funciones f y g son continuas por parte para t ≥ 0 entonces su convoluci´ on
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
t
2
2
denotada por f ∗ g, esta definida por la integral: 0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
b
0

t
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
f ∗ g = f(τ)g(t − τ)dτ (5.18)
∞ −e −st b 1

L {1} = e −st 0 2 = , ∀s> 0
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 s 0 s
Ejemplo 5.16 Dv =3t +2x − 2y
2
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
Calcule la convoluci´ on de f(t)= e y g(t) = sen(t).
t
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Soluci´ on:
t
Evaluar L {t}. Dx = u e sen(t − τ)dτ (5.19)
τ
t
e ∗ sen(t)=
Soluci´ on: Dy = v 0
Mediante integraci´ on por partes ∞ −st
e
L {t} =
tdt
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
τ
u = sen(t − 2τ), 0 dv = e dτ
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
du = − cos(t − τ)dτ, v = e τ s

−st ∞ −st −st ∞
∞ ∞
te 1 te e
−st
L {t} = e τ tdt = − τ + e −st dt = − − 2 (5.20)
τ
e sen(t − τ)dτ
e cos(t
s

0 s = e sen(t − τ)+ s − τ)dτ s 0
0
0
−s·0 −s·0
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e e
∞· e
−s·∞
integrando por partes otra vez y sustituyendo en (5.20)
=
−
s − s 2 − − s − s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
τ
u = cos(t − τ),
dv = e dτ
1
= , ∀s> 0 .
la forma normal son degenerados o degradados τ))dτ = sen(t − τ)dτ, v = e τ
du =(−1)(− sen(t
2
s −
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
122 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May