Page 121 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace
y por ello, se puede escribir:
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
d
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
F(s)
L {tf(t)} = −
n
d y a 0 a 1 ds a n−1 (n−1)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
De manera an´ aloga, dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica
y se hacen los cambios de variables d d d
2
L {t f(t)} = L {t · tf(t)} = − L {tf(t)} = − L {f(t)}
ds
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] ds (5.3)
ds
′
2
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
d
= L {f(t)}
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
2
ds
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
y por ello, se puede escribir:
igual a la combinacion lineal de las transformadas. d 2
2
′ L {t f(t)} =
(n−1)
′
′′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., 2 F(s) = x ′ = x n , y (n) = x ′
y
1 2 ds n−1 n
Con los dos casos anteriores, se puede generalizar para L {t f(t)} de acuerdo al teorema precedente.
n
5.3. Transformaciones
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
Ejemplo 5.13
x ′ 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen
Calcular L {t sen(ωt)}. x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
Solucion: Con n =1 . .
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la

d
d x ′ n−1 = x n ω 2ωs
L {sen(
transformacion integral general viene dada porωt)} = − 2 2 = − 2 2 2
L {t sen(ωt)} = −
y en consecuencia ds ds s + ω (s + ω )
b
a 0 a 1 a n−1
(4.6)
′
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
a n a n a n
a
Ejemplo 5.14
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
Calcular L {t sen(ωt)}. −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
temente de la 2
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Solucion: Con n =2
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
d 2 d 2 ω
2
L {t sen(ωt)} = L {sen(ωt)} =
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′′ 2
2
2
2
ds
ds
s + ω
′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
d −2ωs = −2ω + 8ωs 2
=
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
2
2
2 2
2 2
2 3
2
a la forma normal. ds (s + ω ) (s + ω ) (s + ω )
2
2
3
2
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on −2ω(s + ω )+8ωs 2 = −2ωs − 2ω +8ωs 2
=
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
2 3
2 3
2
2
(s + ω )
(s + ω )
define como y = 2 y − 2y +3y + 1 sen(t)
′ 3
6ωs − 2ω
′′
′′
= 2 2 3 2 b
2 ∞
(s + ω )
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
0
′′ b→∞
′
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
Los ejemplos anteriores corresponden a ejercicios que implican derivadas de una transformada. A
′
y = x = x 2 ,
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′′′
′
′′
2
continuaci´ on se ejemplificar´ a el empleo de la transformada de una derivada.
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Ejemplo 5.15
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
Hallar L {ωt cos(ωt) + sen(ωt)}. x = x 1 − 2x 2 +3x 3 + 1 sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
Soluci´ on: N´ otese t 2
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
d
L {ωt cos(ωt) + sen(ωt)} =
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
L {t sen(ωt)}
dt
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 121
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May