Page 120 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0de modo que
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
tales que |f(t)|≤ Me para t>T. ∞
ct

∞
can´ onica e −st ′ −st f(t) ∞ + s e −st f(t)dt
f (t)dt = e
0 0
0
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar

Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
∞
−s·0
−st
f(∞) −e
f(0) + s
e
= e
−s·∞
f(t)dt
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre

0

Laplace; por ejemplo, 0 F(s)
posible.
= −f(0) + sF(s)= sF(s) − f(0)
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
De igual forma, para y = f (t) se tiene
′′
′′
Reducir el siguiente sistema: ∞
Ejemplo 5.1
f (t)dt
L {f (t)} = e −st ′′
′′
0
2
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
empleando nuevamente integraci´ on por partes:
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
u = e −st , dv = f (t)dt
′′

a la forma normal. ∞ −st b ′ −e −st b
−st = −se
dt,

(1)dt = l´ım
e
L {1} = du (1)dt = l´ım e v −st = f (t)
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
de modo que
−e −sb + e −s·0

∞ = l´ım 2 2 t ∞ (4.9)
∞
−st
f (t)dt
f (t)dt = e
e −st ′′ b→∞ D x +2D y = e − 5x + Dx ′
e
s f (t)
+ s
−st ′

0
0 1 2 2 0 (4.10)
= , ∀s> 0 ∞
D y =3t +2x − 2y
s = e −s·∞ ′ −s·0 ′ e −st ′
f (0) + s
f (∞) −e
f (t)dt
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) 0

0

Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
′
L {f (t)}
diverge. ′
utilizando el ´ ultimo resultado para L {f (t)}
2
2
t
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
∞ 2
−st ′′
2 (0) + s[sF(s) − f(0)] = s F(s) − sf(0) − f (0)
e
′
f (t)dt = −f
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ′ ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
0 0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo, (n) (t)}
b
algo similar ocurrir´ ıa con L {f (t)}, de
0 tal manera que en un caso general, se puede englobar L {f
′′′
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
en el teorema precedente. ∞ −e −st b 1

t dt =
L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 2 s 0 s
Dv =3t +2x − 2y
5.9. Derivadas de una transformada
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Teorema 5.3 Para n =1, 2, 3,. ..
Evaluar L {t}. n Dx = u d n n d n
n
L {t f(t)} =(−1) L {f(t)} =(−1) F(s) (5.17)
Soluci´ on: Dy = v ds n ds n
donde F(s)= L {f(t)}. ∞ −st
tdt
e
L {t} =
2
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
Demostraci´ on: 2 0
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
Si F(s)= L {f(t)} y si se supone que es posible intercambiar el orden de integraci´ on y el de derivaci´ on,

∞ −st ∞ ∞ −st −st ∞
entonces −st te 1 −st te e
L {t} = e tdt = − + e dt = − −
0 d d s ∞ 0 −st s 0 ∞ ∂ −st s s 2 0
f(t) dt
e
F(s)=
f(t)dt =

∞· e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ e 0 · e −s·0 e −s·0
−s·∞
ds
ds
∂s
0
0
=
−

∞ −st s − s 2 − − s − s 2
e
tf(t)dt
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
= −
10
= , ∀s> 0 .
= −L
2 {tf
s
la forma normal son degenerados o degradados (t)}
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
120 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May