Page 119 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:{f(t)} cambiando F(s)
′
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.Por tanto, si ya se conoce L {f(t)} = F(s) entonces se puede calcular L
′
por F(s − a), o sea
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)
′
at
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
y − = L {f(t)} s→s−a = F(s − a)
L {e
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on f(t)} y − . .. − y + f(t) (4.4)
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica
constituyendo asi el primer teorema de traslacion.
y se hacen los cambios de variables
Ejemplo 5.11 T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
′
Hallar L {e t }.
5t 3
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
3
at
5t
Soluci´ on: Empleando el primer teorema de traslaci´ on se puede identificar e = e , a =5 y f(t)= t ,
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
de modo que
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
′
′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , 3 . .., 3! y (n−1) = x ′ 6 = x n , y (n) = x ′
′′
5t 3
1 L {e t } = L {t } s→s−5 = = n−1 n
2
s 4 s→s−5 (s − 5) 4
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
x ′ 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen
Ejemplo 5.12 x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
Hallar L {e sen(3t)}. .
t
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x
′
Soluci´ on: Empleando el primer teorema de traslaci´ = x n at = e , a =1 y f(t)=
t
n−1 on se puede identificar e
transformacion integral general viene dada por
sen(3t), de modo
y en consecuencia que
b
a 0 a 1 a n−1
(4.6)
′
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) 3 (5.4)
n T[f

x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
3
3
t a n a n a n
L {e sen(3t)} = L {sen(3t)} s→s−1 a = s +9 = (s − 1) +9 = s − 2s + 10
2
2
2
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. s→s−1
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.8. Transformada de una derivada
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
′′
′
Teorema 5.2 Si f(t),f (t),. .., f (n−1) (t) son continuas para t ≥ 0 y de orden exponencial, y si f (n) es
′
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.
continua parte por parte para t ≥ 0, entonces
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
(n−1)
n−1
n
(n)
(5.16)
f(0) − s
(t)} = s F(s) − s
f (0) − · ·· − f
L {f
(0)
n−2 ′
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′′
′
′′
donde L {f(t)} = F(s). 2 b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′ b→∞
0
′
0
Demostracion:
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
Suponga que si y = f(t), entonces ′ 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′′′
de s; de otra manera se dice que no
y = x = x 2 ,
′
′′
2

∞
f (t)dt
−st ′
e
′
L {f (t)} =
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
0
empleando integraci´ on por partes: x 1 1
x =
− 2x 2 +3x 3 +
sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
2
−st
t
,
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
u = e
dv = f (t)dt
′
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
−st
dt,
v = f(t)
du = −se
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 119