Page 118 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0Ejemplo 5.9
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
Evaluar L {(1 + e ) }.
2t 2
´Dado que (1 + e ) = 1+2e + e , entonces
Soluci´ on:
4t
2t
2t 2
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
2t 2
2t
4t
Laplace; por ejemplo, L {(1 + e ) } = L {1+2e + e }
posible.
2t
4t
= L {1} +2L {e } + L {e }
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
1 2 1
2t 2
L {(1 + e ) } = + +
Reducir el siguiente sistema: s s − 2 s − 4
Ejemplo 5.1
2
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
Ejemplo 5.10
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)

a la forma normal. 1) }. ∞ e −st (1)dt = l´ım b e −st (1)dt = l´ım −e −st b
3
Evaluar L {(t +

L {1} =
b→∞ (t + 1) = t +3t +3t +1, entonces
Soluci´ on: En este caso, al desarrollar el polinomio 0 3 3 2 b→∞ s 0
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
0
−e −sb + e −s·0
= l´ım 3 2 2 3 2 t
D x +2D y = e − 5x + Dx
L {(t + 1) } = L {t +3t +3t +1} (4.9)
b→∞ s
2 2
2 3
1 = L {t } +3L {t } +3L (4.10)
D y =3t +2x − 2y {t} + L {1}
= , ∀s> 0
s 3! 2! 1! 1
=
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) +3 s 3 +3 s 2 + s
4
s
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
diverge.
1
6
3
6
2
2
t
2
2
3
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
+
L {(t + 1) } =
+
+
s 4 s 3 s 2 s
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
2
0
b
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

−st b
∞ −st −e 1
e
t dt =
L {1} =
5.7. Primer Teorema de Traslaci´ on s = , ∀s> 0
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
s
0 0
2
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
Teorema 5.1 Si a es un n´ umero real cualquiera, entonces
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
at
L {e f(t)} = F(s − a) (5.15)
Evaluar L {t}. Dx = u
en donde L {f(t)} = F(s).
Soluci´ on: Dy = v

∞
−st
tdt
Demostraci´ on Du = e − 6t − 9x +4y + u
e
L {t} =
2
t
0
De la definici´ on original de L {f(t)}, resulta 2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
∞ ∞
−st

at −st ∞ at −(s−a)t −st −st ∞

L {e f(t)} = te e (e f(t))dt = e te f(t)dt e
∞
1
∞
L {t} = e −st tdt = − 0 + e −st dt = − − 2
0
0 s 0 s 0 s s 0
donde si se toma el cambio de variable ˆs = s − a, entonces −s·0 −s·0

4.2.3. Sistemas degenerados o degradados − e −s·∞ − − 0 · e − e 2
∞· e
−s·∞
=
−

∞
2
s
s
s
s
at
−ˆst
e
f(t)dt = F(ˆs)
L {e f(t)} =
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1 0
∀s> 0 .
,
= at
la forma normal son degenerados o degradados = F(s − a)
L {e f
s
2 (t)}
118 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May