Page 117 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
cuando ambas integrales son convergentes. Por lo tanto, se tiene que
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 = αL {f(t)} + βL {g(t)} = αF(s)+ βG(s)
a 1
a n−1 (n−1)
L {αf(t)+ βg(t)}
′
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica
con lo cual se demuestra su linealidad, ya que una transformaci´ on general T de funciones se dice que es
y se hacen los cambios de variables
lineal si se verifica
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
′
T{αf(t)+ βg(t)} = αT{f(t)} + βT{g(t)}
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
El uso de esta propiedad se mostrar´ a en los siguientes ejemplos.
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
Ejemplo 5.7
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
′
′
′′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
Determinar L {6t − 4 sen(2t)}. 2 n−1 n
1
Soluci´ on: Por la linealidad L {6t − 4 sen(2t)} = L {6t}− L {4 sen(2t)}, entonces
5.3. Transformaciones
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales

x ′ 1 = x 2 2
1
− 4
L {6t − 4 sen(2t)} =6
Las transformaciones integrales constituyen ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
2
s +2
2
2
s
x
2 = x 3
8
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera6 . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
= . −
2
s
s +4
2
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x ′ = x n
2
transformacion integral general viene dada por n−1 −2s + 24
F(s)=
y en consecuencia s (s + 4)
2
2
b
a 0 a 1 a n−1
(4.6)
′
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
n T[f
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
a n a n a n
a
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
Ejemplo 5.8
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
Calcular L {cos (t)}.
2
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
2
Soluci´ on: Se necesita usar la identidad trigonom´ etrica para cos (t)
′′ 1
′ 1
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
cos(2t)
+
cos (t)=
2 2
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
Entonces, por linealidad
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
1
1
1
1
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
2
L {cos (t)} = L
+
cos(2t)
= L {1} + L {cos(2t)}
2
define como y = y 2 − 2y +3y + 2 1 sen(t) 2
′′
′
′′
2 b
Empleando los pares de transformadas correspondientes de la Tabla 5.1, −st se tiene
2 ∞
−st
L {f(t)} = F(s)= e f(t)dt = l´ım e f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
0
0
′
′′ b→∞

2
2
2
2s +4
1
1
2
1
1
(s +4)+ s
1
2
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
+
=
=
L {cos (t)} =
2
2
2
2 s 2 s +4 2 s(s + 4) 2 s(s + 4)
y = x = x 2 ,
′′
′′′
′
′
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
2
2
s +2
2
L {cos (t)} =
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
2
s(s + 4)
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
x 1 1
x =
− 2x 2 +3x 3 +
sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 117
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May