Page 116 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
P Parte V: Transformada de Laplacearte V: Transformada de Laplace

n−1 −st ∞

(n − 1)
e
t
(n − 1)
∞
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
∞
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0

−st n−2
−st n−2
n−1
t
L {t
dt =
dt.
+
t
e
e

} = −
ct s s s
tales que |f(t)|≤ Me para t>T. 0 0 0
can´ onica
En donde se puede observar que el primer t´ ermino es cero con los l´ ımites de integraci´ on y que la ´ ultima
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
la integral corresponde a la transformada de Laplace de t n−2 . Esto es
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
Laplace; por ejemplo, L {t n−1 } = (n − 1) L {t n−2 } (5.13)
posible.
s
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
Combinando (5.12) y (5.13)
n (n − 1)
Reducir el siguiente sistema: L {t } = L {t n−2 }
n
Ejemplo 5.1 s s
Si el proceso anterior se extiende para cierto valor de n, se puede t (4.7)
(D − D + 5)x +2D y = e observar que
2
2
Evaluar L {1}.
2
2
Soluci´ on: n(n − 1)(n − 2) · ·· 1 n! 1 n! (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
n
L {t } = L {1} = · = (5.14)
n+1
a la forma normal. ∞ s n b s n s s −e −st b

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
La tabla siguiente muestra la transformada de Laplace de algunas funciones elementales
−e −sb + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
t
2
2
s
Tabla 5.1: Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales
b→∞
1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
2
2
= , ∀s> 0
s No. f(t) L {f(t)} = F(s)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) 1
1
1
→ 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y es −sb , s> 0
diverge. 2 t s 1 2 , s> 0
n!
3
n
2
t
2
n+1 , s> 0
2
t
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
s
4
1
at
2 e
2 , s> a
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
t
s−a
0
5 b sen(ωt) ω 2 , s> 0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo, s +ω
2
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
6
s
cos(ωt)
2
−st b
s +ω 2 , s> 0
∞ −e 1
ω
−st
7
t dt =
e
= , ∀s> 0
L {1} = senh(ωt) 2 s −ω 2 , s> |ω|

Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
s
s

0
8 0 cosh(ωt) s 2 , s> |ω|
2
2
Dv =3t +2x − 2y
s −ω
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0.
9
ω
at
e sen(ωt)
2
(s−a) +ω 2
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal s−a
Ejemplo 5.2
10
at
e cos(ωt)
2
(s−a) +ω 2
Evaluar L {t}. Dx = u
Nota 5.1
Soluci´ on: Dy = v ∞ sobreentiende que s est´ a lo suficientemente restringido para
Obs´ ervese que ya no se especifican restricciones para s. Se
L {t} = de Laplace.
t
garantizar la convergencia de la correspondiente transformada 2 e −st tdt
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s

∞ te −st ∞ 1 ∞ te −st e −st ∞
5.6. Propiedades de la transformada de Laplace (Operador Lineal)

−st
−st
e
+
L {t} =
e

−
dt = −
tdt = −

2
0 s 0 s 0 s s 0
−s·0 −s·0
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e e
∞· e
−s·∞
Para una suma de funciones αf = (t)+ βg(t), se puede escribir que −
−
− −
−
s s 2 s s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en

1
∞
∞
∞
−st
[αf
, (t)+ βg(t)]dt = α
L {αf(t)+ βg(t)} =
= e
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 . e −st f(t)dt + β e −st g(t)dt
2
s
0 0 0
116 Dr
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May