Page 115 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma: jω para la primera expo-
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
A esta ´ ultima expresi´ on se le puede aplicar el resultado en (5.6) con ˆa = a +
′
′
nencial y ˆa = a − jω para la segunda, se tiene
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
′
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on 1 y − y − . .. − y 1 + f(t) (4.4)

1
n
dt
a n
at
a n
L {e cos(ωt)} =
se dice que es lineal si se verifica a n 2 s − (a + jω) + s − (a − jω)
y se hacen los cambios de variables 1 (s − (a − jω))+(s − (a + jω))

=
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
2 (s − (a + jω))(s − (a − jω))
′
y = x 1 , 1 y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)

s − a + jω + s − a − jω
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
=
2 ((s − a)+ jω)((s − a) − jω)
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es

1
2s − 2a
2(s − a)
1
= =
2
igual a la combinacion lineal de las transformadas.2 2 2 (s − a) − j ω 2
2
2 (s − a) − (jω)
′
′′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
1 2 n−1 n
s − a
at
L {e cos(ωt)} =
5.3. Transformaciones 2 2 (5.11)
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales (s − a) + ω
x ′ 1 = x 2
′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
Las transformaciones integrales constituyen
5.5.6. Transformada de potencias positivas n
x
= x 3 de t, t
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
Ahora se procede a encontrar la transformada de Laplace de la funci´ on t , donde n es un entero
n
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x
′
= x n
n−1
positivo. Por la definici´ on de transformada de Laplace, se puede escribir:
transformacion integral general viene dada por
y en consecuencia
b ∞
n
a 0 L {t } = e −st n a n−1
t dt
a 1
(4.6)
′
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
a n a n 0 a n
a
Esta integral se puede resolver mediante integraci´ on por partes empleando
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
temente de la u = t , dv = e −st dt −st , se obtiene el
n
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
−st
e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
n−1
dt,
du = nt
v = −
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden s
Entonces n −st ∞ ∞

t e
n

5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
−st n−1
n
′′
′
′′
2y − 6y +4y − y = sen(t) t
dt
e
+

L {t } = −
s

0 s 0
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
Dado que el primer t´ ermino es cero con los l´ ımites de integraci´ on, la integral se reduce a
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on n n ∞ −st n−1
L {t } =
dt
e
t
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
s
0
define como y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
′′
′
′′
de tal modo que al emplear nuevamente la transformada de Laplace en la ´ ultima expresi´ on se obtiene
2

b
2 ∞
L {f(t)} = F(s)= e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
′ n
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que (5.12)
0 n
n−1
′′ b→∞
0
L {t
L {t } =
}
s
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
Por definici´ on, la transformada de Laplace n−1 ′′ queda expresada como ′ 3
y = x = x 2 ,de t
′′′
y = x
′
′
′
1 existe.
y = x = x 3 ,
de s; de otra manera se dice que no
2

∞
−st n−1
n−1
} =
dt
L {t
e
t
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
0
y aplicando nuevamente integraci´ on ′ por partes, con 1
x 1
− 2x 2 +3x 3 +
x =
sen(t)
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2
2
2
n−1
t
−st
u = t
,
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
dt
dv = e
−st
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
e
n−2
dt,
du =(n − 1)t
v = −
s
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 115