Page 114 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0Al usar esta ´ ultima identidad al aplicar la transformada de Laplace se tiene
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica L {cos(ωt)} = L 1 e jωt + e −jωt
2
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el

∞
1

jωt
−jωt
−st
=
dt
e
e
+ e
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
2
Laplace; por ejemplo, 1 0 ∞ 1 ∞
posible.
e
e
= e −st jωt dt + e −st −jωt dt
2 0 2 0
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), 1 L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
1
= L {e jωt } + L {e −jωt }
Reducir el siguiente sistema: 2 2
Ejemplo 5.1
Aplicando el resultado en (5.6) se tiene
2
2

1
1 (s + jω)+(s − jω)
1
1
Evaluar L {1}. 1 (D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
L {cos(ωt)} = + =
2
−2x +(D + 2)y =3t (s + jω)(s + jω)
Soluci´ on: 2 s − jω 2 s + jω 2 2 (4.8)

1 s + jω + s − jω 1 2s

a la forma normal. = ∞ 2 2 b = 2 2 −e −st b

(1)dt = l´ım
(1)dt = l´ım
L {1} = 2 e −st s − (jω) e 2 −sts + ω
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 s b→∞ s 0
0
−sb
−eL {cos(ωt)} = (5.8)
−s·0
+ e
2
2
ts + ω
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
b→∞ s
2
2
1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
∀s> 0
5.5.4. Transformadas de las funciones seno y coseno hiperb´ olicos (senh(ωt) y
=
,
s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
cosh(ωt))
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
diverge. este par de funciones, las siguientes identidades son pertinentes
Para
2
2
2
2
t
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
1
ωt
1
ωt
senh(ωt)= (e − e −ωt ) , cos(ωt)= (e + e −ωt )
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
2
2
2
2
t
0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,las transformadas de seno y coseno, tal y como se
Por tanto, es posible proceder an´ alogamente como en
b
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
muestra a continuaci´ on:

∞ −e −st b 1

1
1
L {1} = e −st 21 = , ∀s> 0 ω
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
ωt
ωt
L {senh(ωt)} = L {e − e −ωt } = L s{e }− L {e −ωt } = (5.9)
s
2 0 2 0 2 s − ω 2
2
2
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb → 0 cuando b →∞ para s> 0. s
1
1
1
ωt
ωt
ωt
L {cosh(ωt)} = L {e + e −ωt } = L {e } + L {−e } = (5.10)
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal 2 s − ω 2
Ejemplo 5.2
2
2
2
Evaluar L {t}. Dx = u at
5.5.5.
Transformada de la funci´ on coseno amortiguada (e cos(ωt))
Soluci´ on: Dy = v
∞
2 de Euler, se puede escribir que
Al emplear las leyes de exponentes y la identidad e −st tdt
L {t} =
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
1 0 at jωt −jωt
2
at
+ e
Dv =3t +2x − 2 e
e
e cos(ωt)=
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
2
s

1
−st ∞ (a+jω)t (a−jω)t −st −st ∞

∞ te = 1 e ∞ + e te e
L {t} = e −st tdt = − + 2 e −st dt = − − 2
s
0
con lo cual se puede aplicar la transformaci´ 0 s 0 s s 0
on de Laplace, la cual es lineal, como sigue
∞· e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e −s·0 e −s·0
−s·∞
=
−
−

− −
2
at
L {e cos(ωt)} = 1 s L e (a+jω)t s + e (a−jω)t s − s 2
2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
1
1
∀s> 0 .
,
=

la forma normal son degenerados o degradados L e (a+jω)t + L e (a−jω)t
2 =
s
2
2
114 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May