Page 113 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
de la transformada de Laplace, se obtiene la siguiente expresi´ on:
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-

n

d y
∞
∞
∞
a 1
a 0 at
−st+at
at
a n−1 (n−1) −t(s−a)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ one −st e y − dt = y − . .. − dt = y e + f(t) dt (4.4)
′
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
L {e } =
e
dt n 0 a n a n 0 a n 0
se dice que es lineal si se verifica 1 ∞ e −∞·(s−a) e −0·(s−a)
y se hacen los cambios de variables e −t(s−a) dt = − +
=
−
s − a s − a s − a
0
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
′
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
1
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
(5.6)
at
L {e } =
s − a
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
donde s> a para que la integral sea convergente.
igual a la combinacion lineal de las transformadas.
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
′′
′
1 2 n−1 n
5.5.2. Transformada de la funci´ on seno (sen(ωt))
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones
Por la identidad de Euler: x ′ 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
x 1 = x 3 −jωt
jωt
2
− e
sen(ωt)=
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera e . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
2j
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
Al usar esta ´ ultima identidad al aplicar la transformada de Laplace se tiene
x
′
= x n
transformacion integral general viene dada por n−1
y en consecuencia
L {sen(ωt)} = L 1 e jωt − e −jωt
b
a 0
a 1
a n−1
(4.6)
′
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
x = − (t)] = 2j x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
n T[f
a n a n a n
∞ a −st 1 jωt −jωt
=
e
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. e − e dt
2j
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
0

temente de la = 1 ∞ e −st jωt dt − 1 ∞ e −st −jωt dt −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
e
e
2j
2j
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
0
0
1
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden jωt }− 1 L {e −jωt }
L {e
=
2j 2j
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
′′
′
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′
Aplicando el resultado en (5.6) con a = jω para la primera exponencial y a = −jω para la segunda, se
tiene
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal.

Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on 1 1 1 1 (s + jω) − (s − jω)
1
=
L {sen(ωt)} =
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
−
(s + jω)(s + jω)
2j s + jω
2j
2j s − jω
define como 1 s + y − 2y +3y + 1 1 sen(t)

′′
′
2jω
y = jω − s + jω
′′
= = 2 b
2 ∞
s − (jω)
2
2j
2j s + ω
2
L {f(t)} = F(s)= e 2 −st f(t)dt = l´ım 2 e −st f(t)dt. (5.5)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′ b→∞
0
0
′
ω
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
L {sen(ωt)} = (5.7)
′ 2
s + ω
y = x = x 2 ,
′
′
de s; de otra manera se dice que no 1 existe. y = x = x 3 , 2 y = x ′ 3
′′′
′′
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.5.3. Transformada de la funci´ on coseno (cos(ωt))
5.4.1.
Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
x 1 1
x =
− 2x 2 +3x 3 +
′
Para la funci´ on cos ωt, la identidad 3de Euler es la siguiente: sen(t)
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
2
2
2
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
1 jωt −jωt
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
+ e
cos(ωt)=
e
2
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 113
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May