Page 112 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de LaplaceParte V: Transformada de Laplace

Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0Soluci´ on: Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
ct
can´ onica ∞

tales que |f(t)|≤ Me para t>T. ∞ 2
L {f(t)} = e −st f(t)dt = e −st (4)dt + e −st (0)dt
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
2
0
0
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
2

2

−st

−e
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de

−st
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
=4
e
dt =4
−

s
Laplace; por ejemplo, −2s −s·0 0
0
posible.
=4 − e − − e
Ejemplo 4.2 L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), s L {y(t)} = Y (s)
s
4e −2s 4
Reducir el siguiente sistema: = − + , ∀s> 0
Ejemplo 5.1 s s
2
2
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
Ejemplo 5.6

a la forma normal. ∞ −st b −st −e −st b

L {1} = e (1)dt = l´ım e (1)dt = l´ım
0t, 0 ≤ t< 1;
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
Evaluar L {f(t)} para f(t)= −e −sb + e −s·0 .
1,t ≥ 1.
= l´ım 2 2 t (4.9)
Soluci´ on: b→∞ D x +2D y = e − 5x + Dx
s
1 2 2 (4.10)
= , ∞ ∀s> 0 1 ∞
D y =3t +2x − 2y
s
L {f(t)} = e −st f(t)dt = te −st dt + e −st dt
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) 0 1
0
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
1 −st
Integrando por partes la primera integral haciendo u = t, du = dt, dv = e
diverge. −st dt y v = − e
s
2
2
t
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)

te −st 1 1 1 −st ∞ −st

El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
dt
2 e
+
2 e
dt
t +
L {f(t)} = −

s s 0
0 b 0 1
1
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,

−st
−st
e
−st ∞
e
te
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

0
=
−
−
−

s s 2 ∞ s −e −st b 1

0 −st 1

Du = e − 6t − 9x +4y + u
e 2 = , ∀s> 0
L {1} = −s t dt = −s·0 e −s·0 e −s·∞ e −s
−s
e
e
0 · e
= − − 0 − − s − 0 s − −
2
s Dv =3t +2x − 2y s 2 s s
s
s
2
→ 0 cuando b →∞ para s> 0.
en donde se entiende que el l´ ımite superior e −sb −s
−s
−s
e e 1 e
+
+
= −
−
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
s
2
2
s
s
s
1 e −s
∀s>
Evaluar L {t}. = s 2 − s 2 , Dx = u0
Soluci´ on: Dy = v

∞
−st
L {t} =
tdt
e
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
2
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
5.5. Transformadas de Laplace 1 de funciones comunes ∞

−st ∞
−st
−st
te
e
te
∞
∞

L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − − 2
0 s 0 s 0 s s 0

5.5.1.
Transformada de la funci´ on exponencial en el tiempo (e )
∞· e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e −s·∞ 0 · e −s·0 at e −s·0
−s·∞
=
−
s − s 2 − − s − s 2
Se procede a encontrar la transformada de Laplace de la funci´ on e ,d´ onde a es una constante que
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
at
1
=
,
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 .
puede ser real negativa o positiva, puramente imaginaria o compleja, de modo que al aplicar la definici´ on
s
2
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
112 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May