Page 103 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma: on particular
Sustituyedo los valores encontrados para c 1 y c 2 en (4.55), se obtiene una soluci´
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
nn
d y d y
   2t a 0 a 0 a 1 a 1 ′ ′ −4t a n−1 (n−1) t 2t −4t 


(4.4)
a n−1 (n−1)
−4t
y − . ..
2t
= +2e
+ fe
−6
y − . .. − − )
y −
˙ x 1 1 4e = − − y − − 4e +4e yy 1 + f(t) (t) +5e + e (4.4)
nn
= dt dt a n a n a n a n a n a n +
2t
2t
t
2t
˙ x 2 6 8e − 8e −4t − 8e − 16e −4t ) 30 −6e + 10e − 4e −4t
y se hacen los cambios de variables   
y se hacen los cambios de variables

t
2t
1 6e −4t ) 1 −6e +5e + e −4t
= +
6 −24e −4t ) 30 −6e + 10e − 4e −4t
t
2t
(4.5)
(n−1)
=
y =
.
y =
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
′ ′
 
1 t
1 2t
e −4t − e + e + 1 e −4t
= 5 6 30
se observa que que −4e −4t − e + e − 4 e −4t
se observa
1 t
1 2t
5 3 30
 
1 t
31 −4t + e − e
1 2t
e
(n−1)
′ ′ 6
(n) (n)
y = x = x 2 , x 2 , 30 y = x = x 3 , x 3 , 5 . .., .., yy (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
.
y = x = =
′ ′
′ ′
=
=
=
′ ′
′′ ′′
′ ′
y = x =
n−1
1 1
nn
1 t
2 2 1 2t
62 −4t
− e + e − e
15 3 5
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
=
′ ′
1
31 xx = x 3 x 3 1
2 2
2t
. .
˙ x 1 = e −4t + e − e t
30 . . 5
. . 6
= 1
xx 62 = x n x n 2t 1
′ ′
n−1
˙ x 2 = − n−1 −4t + e − e t
e
15 3 5
y en consecuencia
y en consecuencia
a n−1
a 0 a 0 a 1 a 1 a n−1
(4.6)
x n + f
x = x 2 − . .. x n + f(t) (t) (4.6)
′ ′
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − −
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. t e F(s)ds con

A(t−t 0 )
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. A(t−s)
Puede emplearse la f´ ormula X(t)= e
C +
t 0
Ejemplo 4.1 4.1
Ejemplo
 
x(t 0 )
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden  
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
′
 x (t 0 ) 
C = X(t 0 )=  .  (4.55)
 . . 
2y − 6y +4y − y = sen(t)
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′ ′′
′ ′
′′ ′′


x (n−1) (t 0 )
a la forma normal.
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
4.5. M´ etodo adicional para 11
yy resolver sistemas que est´ an sujetos a
y = = − 2y +3y + + sen(t)
sen(t)
y
− 2y +3y
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
condiciones iniciales 22 22
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
′ ′
′′ ′′
Analizando primeramente el caso escalar:
y = x =
y = x =
y =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
′′′′′′
′ ′
′′ ′′
′ ′
′ ′
′ ′
3 3
2 2
1 1
˙ x(t)= ax(t)+ f(t) o ˙x(t) − ax(t)= f(t)
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica (4.56)
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
11
adt −at
Resolviendo con factor integrante, µ(t)= e − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
e
x 1 x 1 −
x
x = =
sen(t)
′ ′
3 3
22 − 2x 2 +3x 3 22
d � −at  −at
e x(t) = e f(t)
dt
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 103
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May