Page 104 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Si se resuelve la ecuaci´ on diferencial sujeta a x(t 0 )= x 0 , entonces se debe resolver (4.56) en un intervalo
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
4.2.2.
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
que contenga a t 0 , entonces se tendr´ ıa que:
can´ onica
can´ onica
t t
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el

−as
−at
d e
=
e
f(s)ds
x(t)
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
t 0
t 0
t
posible.
posible. e −at x(t) t = e −as f(s)ds
t 0
t 0
Ejemplo 4.2 t
Ejemplo 4.2
e −at x(t) − e −at 0 x(t 0 )= e −as f(s)ds
Reducir el siguiente sistema: t 0
Reducir el siguiente sistema:
t

e −at x(t)= e −at 0 x(t 0 )+ e −as f(s)ds
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y = e e t t (4.7)
(D − D + 5)x +2D y = t 0
t
2 2
2 2
(4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
−2x +(D + 2)y =3t
x(t)= e e x(t 0 )+ e at e −as f(s)ds (4.8)
at −at 0
t 0
a la forma normal. t
a la forma normal.
x(t)= e a(t−t 0 ) x(t 0 )+ e at e −as f(s)ds
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
t 0
2 2
(4.9)
2 2
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx
donde x(t 0 )= x 0 , ahora matricialmente se tiene t t (4.9)
(4.10)
2 2
2 2
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
t t

X(t)= e A(t−t 0 ) C + e At e −As F(s)ds = e A(t−t 0 ) C + e A(t−s) F(s)ds (4.57)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
t 0 t 0
con C igual a la definida en (4.55).
2 2
2 2
2 2
t t
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
Ejemplo 4.21
2 2
t t
2 2
(4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
Resolver ¨x + x =3 con x(π)=1 y ˙x(π) =2.
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Soluci´ on: Se definen las nuevas variables x 1 = x, ˙x 1 =˙x = x 2 y ˙x 2 =¨x 1 =¨x. A partir de los cuales se
puede rescribir la ecuaci´ on diferencial como t t 2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y
Dv =3t +2x −
˙ x 1 = x 2
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
˙ x 2 =3 − x =3 − x 1
Dx = u u
Dx =
y los vectores X(t), A y F(t)
Dy = v v
Dy =
t t 2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u 0
1
0
x 1
X(t)= ,A = ,F(t)= .
−10
2 2
Dv =3t +2x − 2 2 3
Dv =3t +2x −
x 2
De las condiciones iniciales del problema se puede identificar a t 0 = π, por lo que la matriz C es

4.2.3.
Sistemas degenerados o degradados
x(t 0 )
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados = 1
C =
x (t 0 ) 2
′
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
la forma normal son degenerados o degradados
Entonces se tiene un sistema con n =2 y por
la forma normal son degenerados o degradados lo tanto la matriz exponencial ser´ a escrita en la forma
104 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May