Page 102 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
4.2.2.
t

2t
t
−4t
1
−30e + 30e +6e
e At e −As F(s)ds = t 2t −4t
can´ onica t 0 180 −36e + 60e − 24e
can´ onica

t 2t −4t
1 −5e +5e + e
=
(6)
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
t
180 −6e + 10e − 4e −4t
2t
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre

t
−4t
2t
posible. = 1 −6e +5e + e
posible.
30 −6e + 10e − 4e −4t
t
2t
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
La soluci´ on complementaria X c = e C quedar´ ıa de la siguiente forma
At
2 2
2 2
(4.7)
(D − D + 5)x +2D y = e e
(D − D + 5)x +2D y = t t (4.7)
2 2 2 2
(4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
−2x +(D + 2)y =3t
2t
2t
1 4e +2e −4t e − e −4t c 1 (4.8)
At
e C = 2t −4t 2t −4t
a la forma normal. 6 8e − 8e 2e +4e c 2
a la forma normal.

2t
2t
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema 1 c 1 (4e +2e −4t )+ c 2 (e − e −4t )
=
6 c 1 (8e − 8e −4t )+ c 2 (2e +4e −4t )
2t
2t
(4.9)
t t
2 2
2 2
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
2 2
2 2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
At
La soluci´ on general X(t)= e C + e At t e −As F(s)ds solicitada es
t 0
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)

2t
2t
˙ x 1 1 c 1 (4e +2e −4t )+ c 2 (e − e −4t )
+
2 2 =
2 2
2 2
t t
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
−4t
2t
−4t
2t
˙ x 2 6 c 1 (8e − 8e )+ c 2 (2e +4e )
(4.11)
t t
2 2
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)

2t
t
1 −6e +5e + e −4t
(4.54)
t
2t
−4t
30
−6e + 10e − 4e
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
Utilizando las condiciones iniciales para hallar 2 2 los valores de las constantes c 1 y c 2 . En este caso, se deben
Dv =3t +2x − 2y 2y
Dv =3t +2x −
tomar en cuenta los cambios de variables (4.50)-(4.52): x = x 1 y ˙x = x 2 .
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
1 Dx = 1 1
Dx = u u
x 1 (0) = 1 = c 1 (4e 2·0 +2e −4·0 )+ c 2 (e 2·0 − e −4·0 )+ (−6e 1·0 +5e 2·0 + e −4·0 )
6 6 30
Dy =
1 Dy = v v 1
1
1= c 1 (4 + 2) + c 2 (1 − 1) + (−6+5 + 1)
2 2
t t
6 Du = e − 6t − 9x +4y + u u
30
6
Du = e − 6t − 9x +4y +
c 1 =1
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
1 1 1
2t
t
2t
2t
˙ x 1 (t)= c 1 (8e − 8e −4t )+ c 2 (2e +4e −4t )+ (−6e + 10e − 4e −4t )
6 6 30
1 2·0 −4·0 1 2·0 −4·0 1 1·0 2·0 −4·0
Sistemas degenerados o degradados
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3. ˙ x 1 (0) = −4= 6 c 1 (8e − 8e )+ c 2 (2e +4e )+ 30 (−6e + 10e − 4e )
4.2.3.
6
1 1 1
c 1 (8 − 8) + c 2 (2 + 4) +
−4=
(−6+10 − 4)
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
6 6 30
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
c 2 = −4
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
102 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May