Page 53 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
Nota 2.12.1
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En Ecuaci´ on Diferencial de Primer Orden
M(x, y)dx + N(x, y)dy =0

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
0= c 33

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c

donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde Resolver mediante integraci´ on

¿Variables

en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones

B(y)dy =
0
A(x)dx +

separables?
Si
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.

Cabe
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
inte No

riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable.

Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial Si M(x, y) m´ as simple, hacer x = uy

Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por ¿Homog´ enea? Si Si N(x, y) m´ as simple, hacer y = vx
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
de
son:
son:
No
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB

A
A
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , B B ̸=0̸=0
Resolver B el B sistema
¿Exacta? ∂F = M P (x, P y)

∂M = ∂N Si P P ln A = ln Aln A = ln A
∂x
∂y ∂x ∂F = N(x, y)
∂y
u u = ln e= ln e u u

e e
No ln ln uu = = uu
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B

Calcular el factor de integraci´ on adecuado
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense 1 ∂M − ∂N ∂ ∂
∂x )dx

bles.
bles. ¿Tiene µ(x) µ(x)= e N ( ∂y ⇒ ∂y [µ(x)M(x, y)] = ∂x [µ(x)N(x, y)]

1
∂M
∂x )dy
o µ(y)? Si µ(y)= e − M ( ∂y − ∂N ⇒ ∂ [µ(y)M(x, y)] = ∂ [µ(y)N(x, y)]
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo ∂y ∂x

No
Resolverer
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
dx dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)

P(x)dx
Calcular
(1 + e 2x 2x el factor integrante µ(x)= e tal que
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
¿Lineal en x d P(x)dx P(x)dx

dx e y = e f(x)
de o en y? Si
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
se integre de ambos miembros y se despeje la variable y

No (1 + e 2x 2x dy 0 0
dy ==
(1 + e )dx −)dx −
Utilizar otro m´ etodo como Transformada de Laplace

1 1
x + 2x 2x − − y = cy = c
x + ee
2 2
Figura 2.3: Diagrama de flujo para resolver Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden [Elaboraci´ on propia].
1 1
y = x + ee
y = x + 2x 2x − − cc
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ 53
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May