Page 52 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
2.7. Un aporte a la metodolog´ ıa para resolver ecuaciones diferen-
1 1 2xx
ciales de primer orden y = x + ee + c.c.
2
+
y = x +
2 2
Finalmente, en la figura 2.3 se muestra un diagrama de flujo de apoyo para la soluci´ on de ecuaciones
diferenciales de primer orden vistas en este apartado II de este material did´ actico.
Ejemplo 2.22.2
Ejemplo
Resolverer dy = sen xsen x
dy
Resolv
=
dx
dx
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
sen
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por

dy ==
sen dy 0 0
sen xdx −xdx −
− cos x − y = ccos x − y = c
−
y
y = − cos x − c= − cos x − c
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
y = − cos x + c= − cos x + c
y

Ejemplo 2.32.3
Ejemplo
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
dx
dx dy dy
=0
− − =0
1+
1+ xx y y
de
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro

dx dy dy
dx
− − = = 0 0
1+ xx
1+ y y
ln(1
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
Es

dx
dx dy dy
= ln cln c
− − =
1+ xx y y
1+
Ademas, A A con
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B

1+ xx
1+
=
ln ln = ln cln c
y y
1+
1+ xx
=
= cc
y y
1+
1+ xx
y
y ==
c c
Dr Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
52 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L.