Page 51 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
Nota 2.12.1
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
0= c 33

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.

Comportamiento de la temperatura del pastel
Cabe
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
300
inte
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
riable.
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
Diferencial
Diferencial e Integral.e Integral.
Por 250
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
de
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
son:
son: 200
Temperatura (°F) ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB A , , B B ̸=0̸=0

A
ln A − ln B = lnA − ln B = ln
ln
B
B
P ln A = ln Aln A = ln A
P
150
u u = ln e= ln e u P u P
ln ln uu
e e = = uu
100 ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense
bles.
bles.
50
Ejemplo 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Ejemplo 2.12.1 0
Tiempo (minutos)
Resolverer
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
dx dx
Soluci´ −0.1902t + 70 [Elaboraci´ on propia].
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Figura 2.2: Comportamiento de la temperatura del pastel T(t)=230e
(1 + e 2x 2x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
de

dy ==
(1 + e 2x 2x dy 0 0
(1 + e )dx −)dx −
1 1
x + 2x 2x − − y = cy = c
x + ee
2 2
1 1
y = x + 2x 2x − − cc
y = x + ee
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 51
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´