Page 50 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoobjeto, se expresa mediante la ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden
Sin
un
1 1
2
dT 2xx + c.c. (2.31)
+
y = x + ee ),T(0) = T i
y = x + T m
dt = k(T − 2 2
donde k es la constante de enfriamiento y T es la temperatura del objeto. Determine el valor de k de tal
modo que T(3) = 200 F.
◦
Ejemplo 2.22.2
Ejemplo
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial (2.31) es bastante simple y puede resolverse mediante el m´ etodo de
Resolverer separables.
variables dy = sen xsen x
Resolv
dy
=
dx
dx
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
dT(t)
= kdt
T(t) − T
sen m
sen xdx − dy =0xdx − dy =0

dT(t)
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por = kdt
T(t) − T m

ln(T(t) − T m )= kt + c
dy
sen dy == 0 0
sen xdx −xdx −
kt
T(t) − T m = e kt+c = e · e c
− cos x − y = ccos x − y = c
−
kt
T(t)= ce + T m (2.32)
y = − cos x − c= − cos x − c
y
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como m = 70 Fy
Se procede a encontrar el valor de la constante c con la ayuda de las condiciones iniciales T ◦
Sin
T(0) = T i = 300 F.
◦
y = − cos x + c= − cos x + c
y
T(0) = 300 = ce k·0 + 70 → c = 230
Por tanto, la expresi´ on (2.32) queda descrita en t´ erminos de todos los datos del problema
Ejemplo
Ejemplo 2.32.3
kt
T(t) = 230e + 70 (2.33)
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
A partir de esta ´ ultima expresi´ on se puede ahora determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200 F.
◦
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
dx dy dy 3k
dx
◦
T(3) = 200 ◦ = 230 e =0 ◦
+ 70
=0
− −
1+ xx y y
1+
230e 3k = 130
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
de
130
e 3k =
dx 230 dy dy
dx
= =
− − 0 0
1+ xx y y 130
1+
3k = ln
230
ln(1
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
1
3
130
Es
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
= −0.1902
k = ln
230
dx dy dy
dx
=
= ln cln c
1+soluci´ on
Este valor confirma que la exponencial de la − − y y es decreciente. F´ ısicamente, la temperatura del
1+ xx
pastel ir´ a de mayor a menor, es decir, A A descender´ a 230 grados hasta alcanzar la temperatura ambiente en
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
con
Ademas,
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B
aproximadamente 40.6974 minutos. La figura 2.2 se muestra el comportamiento de la soluci´ on (2.33) con

1+ xx
1+
= ln cln c
k = −0.1902. ln ln y y =
1+ xx
1+
= cc
=
y y
1+ xx
1+
y
y ==
c c
50 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May