Page 49 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
Nota 2.12.1
Sustituyendo el valor obtenido de c en la expresi´ on para la familia de trayectorias ortogonales se
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En obtiene
−x

y =2 − x +3e
A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
0= c 33
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11

A de las
En la figura 2.1 se muestran once familias A(x)dx +(x)dx + trayectorias =ortoganales obtenidas para valores de la
B
B(y)dy(y)dy
c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
= c 3
constante c que van desde c = −5 hasta c =5.
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
Familia de trayectorias ortogonales
6
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe Miembro de familia de
inte trayectorias ortogonales
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
que pasa por el punto (0,5)
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable. 4
Diferencial e Integral.e Integral.
Diferencial
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por
de 2
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
son:
son:
y 0
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB

A A
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , B B ̸=0̸=0
B B
−2 P P
P P ln A = ln Aln A = ln A
u u = ln e= ln e u u
e e
−4 ln ln uu = = uu
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
Ense −6
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
−6 −4 −2 0 2 4 6
bles. x
bles.
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo
x
Figura 2.1: Familia de trayectorias ortogonales x + y = c 1 e y y =2 − x + ce −x [Elaboraci´ on propia].
Resolverer
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
dx dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
(1 + e 2x 2x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
de
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
2.6.2. Problemas de transferencia de calor

dy ==
(1 + e 2x 2x dy 0 0
(1 + e )dx −)dx −
Ejemplo 2.19
1 1
x + ee
x + 2x 2x − − y = cy = c
2 2
Al sacar un pastel del horno, su temperatura inicial es T i = 300 F. Para conocer el tiempo en el cual el
◦
1 1 2x 2x
y = x +
y = x + ee
− cc
pastel se enfriar´ a hasta la temperatura ambiente de T m = 70 F, la ecuaci´ on relativa al enfriamiento de
−
◦
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 49
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´