Page 48 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoPrimero se debe encontrar la ecuaci´ on diferencial de la familia dada. Con este fin, se deriva para
a)
encontrar dy = f(x, y) como sigue
dx 1 1 2 2xx
y = x + ee
y = x + +
+ c.c.
2 2
dy dy
1+ = c 1 e y
dx dx
dy
y
(1 − c 1 e ) = −1
Ejemplo dx
Ejemplo 2.22.2
dy −1
=
dy
Resolv
Resolverer dy = sen xsen x dx 1 − c 1 e y
=
dx
dx
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
−y
Soluci´ pero c 1 = e (x + y) por lo que ahora se tiene
sen −1
dy sen xdx − dy =0xdx − dy =0 −1
= = = f(x, y)
dx
1 − x − y
1 − (x + y)
por
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino

Como segundo paso y de acuerdo con la expresi´ on anterior, se tiene que la ecuaci´ on diferencial de
dy ==
dy
0 0
sen
sen xdx −xdx −
la familia de trayectorias ortogonales es
− cos x − y = ccos x − y = c
−
dy −1
y
y = − cos x − c= − cos x − c
= =1 − x − y
dx f(x, y)
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
Enseguida, la ecuaci´ on diferencial anterior debe resolverse. Con este fin, se puede rescribir como
y
y = − cos x + c= − cos x + c
dy
+ y =1 − x
dx
Se observa que la ecuaci´ on diferencial es lineal con P(x) =1 y f(x) =1 − x, por lo que se utiliza
Ejemplo 2.32.3
Ejemplo
la metodolog´ ıa correspondiente para resolverla. Para P(x)= 1, el factor integrante es simple:

x
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
Resolv µ(x)= e dx = e . Al resolver se tiene
Soluci´ d
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
x
x
(e y)= e (1 − x)
dx
dx dx dy dy
=0
− − =0
y y
x
1+ xx x
e y = 1+ e (1 − x)dx
de
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
x
x
x
e y = e dx − xe dx

dx
dx
dy dy
− − = = 0 0
1+
1+ xx y y
x
x
x
x
e y = e dx − xe − e dx + c
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
ln(1
x
x
x
x
e y = e − xe + e + c
Es
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
x
x
x
e y =2e − xe + c

dx
dy dy
dx
= ln cln c
− − =
1+ xx y y
1+
Lo que finalmente devuelve la familia de trayectorias ortogonales
Ademas, A A con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
con
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B

y =2 − x + ce −x
1+ xx
1+
ln ln = ln cln c
=
y y
b) Para hallar el miembro de la familia de trayectorias ortogonales que pasa por el punto (0, 5) se debe
1+
1+ xx
= cc
=
determinar el valor de c, evaluando precisamente el punto en la soluci´ on.
y y
1+ xx
1+
y
y ==
5 =2 − 0+ ce −0 → c =3
c c
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.
48 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May