Page 47 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte

La soluci´
Nota on
Nota 2.12.1anterior es general. Resolviendo para la condici´ on y(0) = −3
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
En 1 1 7
→−3=
−3= + ce 0 −2 + c → c
2 2 2
= −
A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
0= c 33
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
La soluci´ on del problema de valor inicial es

A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
1 7 −2
y = − e x
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde 2 2
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
siendo esta ´ ultima expresi´ on una soluci´ on particular.
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe
2.6. Aplicaci´ on de las ecuaciones diferenciales de primer orden
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
inte
riable.
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
Diferencial Trayectorias ortogonales
2.6.1.
Diferencial e Integral.e Integral.
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por
Definici´ on 2.8 Trayectorias ortogonales
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
de
Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c 1 ) =0 cortan ortogonalmente a todas las curvas de
son:
son:
otra familia H(x, y, c 2 )=0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra.
En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta en ´ angulo recto a toda
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB
curva de otra familia.
A
A
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , B B ̸=0̸=0
B B
Enseguida se describe el m´ etodo para calcular las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada.
P P ln A = ln Aln A = ln A P P
u u = ln e= ln e u u
M´ etodo para calcular trayectorias ortogonales
ln ln uu
e e = = uu
1. Se encuentra la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas dada. Del C´ alculo Diferencial Elemen-
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
tal, recuerde que la derivada de una funci´ on representa la pendiente de la recta tangente a la curva
Ense dada.
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
dy
bles.
bles. = f(x, y)
dx
Ejemplo
Ejemplo 2.12.1
2. La ecuaci´ on diferencial de la segunda familia, ortogonal a la primera familia dada es
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x dy 1
Resolverer
dx dx dx = − f(x, y)
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
De Geometr´ ıa Anal´ ıtica, recuerde que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pen-
dientes es -1. (1 + e 2x 2x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
de 3. Resuelva la ecuaci´ on diferencial obtenida en el punto 2.
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene

Ejemplo 2.18 (1 + e 2x 2x dy 0 0
dy ==
(1 + e )dx −)dx −
1 1
a) Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas x + y = c 1 e .
x
2x
2x
x + ee
x + − − y = cy = c
2 2
b) Encuentre el miembro de la familia de trayectorias ortogonales que pasa por el punto (0, 5).
1 1 2x 2x
y = x + ee
Soluci´ on: y = x + − − cc
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 47
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´