Page 46 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como3. Ahora se multiplica la ecuaci´ on diferencial por el factor integrante
1 1
dy 2xx
2
+ c.c.
y = x + ee
−3x
+ −3x
e y = x + − 3e y =0
dx 2 2
4. El lado izquierdo de la ecuaci´ on en el paso 3 es la derivada del producto del factor integrante y la
Ejemplo
Ejemplo 2.22.2 dependiente y.
variable
d −3x
Resolv dy = sen xsen x dx [e y] =0
Resolverer
dy
=
dx
dx
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
5. Integrando ambos lados de la igualdad.
sen
sen xdx − dy =0xdx − dy =0

d[e −3x y]= 0dx
por
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
e −3x y = c

dy
sen dy == 0 0
sen xdx −xdx −
y = ce 3x
− cos x − y = ccos x − y = c
−
y = − cos x − c= − cos x − c
y
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
Ejemplo 2.17
y = − cos x + c= − cos x + c
y
Resolver el problema de valor inicial dy +2xy = x, y(0) = −3
dx
Soluci´ on:
1. La
Ejemplo 2.32.3 on ya est´ a en la forma (2.25)
Ejemplo ecuaci´
2.
Resolv Se identifica P(x)=2x
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0y f(x)= x para obtener el factor integrante µ(x)
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
2
e P(x)dx = e 2 xdx = e x
dx
dx dy dy
=0
− − =0
1+ xx y y
1+
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
de 3. Ahora se multiplica la ecuaci´ on diferencial por el factor integrante
dx dy dy
dx dy
2
2
x
x
= =
e x 2 − − +2e xy = e x
0 0
1+
1+ xxdx y y
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
ln(1
4. El lado izquierdo de la ecuaci´ on en el paso 3 es la derivada del producto del factor integrante y la
Es
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
variable dependiente y.

dx d x 2 dy dy x 2
dx
=
= ln cln c
− − [e y]= e x
1+ y y
1+ xx dx
Ademas, A A con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
con
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln igualdad.
5. Integrando ambos lados de la
B B

1+
1+ xx
ln ln d[e y]= e xdx
2
2
=
x
= ln cln c x
y y
1+
1+ xx 1 2
2
= cc
=
x
e y = e x + c
y y 2
1+ xx
1+
1 −2
y y y == = + ce x
2 c c
46 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.