Page 156 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

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Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

6. Hallar la Transformada Inversa de
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
can´ onica 3e − s 3
F(s)=
2
2
s (s + 2) 2
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
posible.

Ejemplo 4.2

Reducir el siguiente sistema:

2
2
(D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
2
−2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema

2
2
t
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
D y =3t +2x − 2y (4.10)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)

2
2
2
2
t
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
t
2
2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
Dv =3t +2x − 2y
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Dx = u
Dy = v

t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
Dv =3t +2x − 2

4.2.3. Sistemas degenerados o degradados

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
la forma normal son degenerados o degradados

156 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May