Page 110 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplacearte V: Transformada de Laplace
P Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Definici´ Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.para t>T.
ct ct
tales que |f(t)|≤ Me
can´ onica
´ ´
NO Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotarTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada defunci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
la
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
Laplace; por ejemplo,por ejemplo,
Laplace;
posible.
Ejemplo 4.2 L L L {y(t)} = Y (s){y(t)} = Y (s)
L {g(t)} = G(s),{g(t)} = G(s),
L {f(t)} = F(s),{f(t)} = F(s),
L
Reducir el siguiente sistema:
Ejemplo 5.1
Ejemplo 5.1
2
2
Evaluar L {1}.
Evaluar L {1}. (D − D + 5)x +2D y = e t (4.7)
2
Soluci´ on:
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)

−st
a la forma normal. ∞ −stst b b −stst −ee −st bb
∞
−

L {1} = =
(1)dt = l´ımdt = l´ım
(1)dt = l´ımdt = l´ım
L {1} e e − (1) e e − (1)
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b b→∞→∞ 0 0 b b→∞→∞ s s 0 0
0 0
−ee −sbsb + ee −s·0s·0
+
−
−
−
l
= = l´ım´ım 2 2 t (4.9)
s s
b b→∞→∞ D x +2D y = e − 5x + Dx
1 1 D y =3t +2x − 2y (4.10)
2
2
= = , , ∀s> 0 0
∀s>
s s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y −sbsb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e e
−
→
diverge.verge.
di
2
2
2
t
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | paravierte en algo tedioso, por lo que se adoptar´ a la notaci´ on | para
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se con
t
2
2
∞
0 0
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,()| . Por ejemplo,
b b
expresar en forma abreviada l´ım b→∞
0 0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

−st bb
∞ −ee −st 1 1
∞
−
t dt =dt =
L {1} ={1} = e e −stst 2 = , ∀s>
L
−
= , ∀s> 0 0
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 0 s s 0 0 s s
2
Dv =3t +2x − 2y
en donde se entiende que el l´ ımite superior −sbsb → 0 cuando b →∞ para s> 0.0 cuando b →∞ para s> 0.
en donde se entiende que el l´ ımite superior e e
−
→
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
Ejemplo 5.2
Evaluar L {t}.
Evaluar L {t}. Dx = u
Soluci´ on: Dy = v
Soluci´ on:

∞
∞
−stst
tdt
tdt
L {t} = =
e e
−
2
t
Du = e − 6t − 9x +4y + u
L {t}
0 0
2
que Dv =3t +2x − 2 −stst dt y v = − ey v = − e
1 −st−st
1
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = ese resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e
dt
−
s s

−st ∞∞ −stst −stst ∞
∞
−st
∞
∞
∞ te te 1 1 ∞ te te − e e −
L {t} ={t} = e e −stst tdt + + e e −stst dt − − 2 2
−
−
L
dt = −= −
tdt = −= −
0 0 s s 0 0 s s 0 0 s s s s 0 0

−s·0s·0 −s·0s·0

0 · e· e
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados e e −s·∞s·∞ 0 − e e −
∞· ee
−
−s·∞s·∞
−
∞·
= =
−
− −
s s − − s s 2 2 − −− s s − − s s 2 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1 1
, ,
= =
la forma normal son degenerados o degradados ∀s> 0 .s> 0 .
∀
2 2
s s
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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