Page 105 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
= α 1 At + α 0 I
e At Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
nn At
d y d y e = α a 1 a 1 a n−1 (n−1)
a 0 a 0 1 At + α 0 I
a n−1 (n−1)
(4.4)
=
+ f
y
′ ′
y − . ..
= − − y − − y − . .. − − yy + f(t) (t) (4.4)

nn
dt dt a n a n a n a n 0 t a n a n 10
= α 1 + α 0
y se hacen los cambios de variables −t 0 01
y se hacen los cambios de variables

α 0 α 1 t
=
(n−1)
(4.5)
y =
′ ′
=
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , t α 0 . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
.
y =
−α 1
Los valores eigen de este sistema de ecuaciones diferenciales es
se observa
se observa que que

−λ t 2 2

′ ′ 1,2 = ±it
(n−1)
(n−1)
det(At − λI)= = λ + t → λ (n) (n)
=
′′ ′′
′ ′
=
.
. .., ..,
′ ′
=
y = x =
′ ′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , −t −λ yy = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
′ ′
y = x =
n−1
1 1
nn
2 2
con los cuales se obtiene el siguiente sistemas de ecuaciones para α 1 y α 2
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
it
r(λ 1 )= e xx = (4.58)
′ ′ = iα 1 t + α 0
1 1 = x 2 x 2
r(λ 2 )= e −it ′ ′ = x 3 x 31 t + α 0 (4.59)
xx =
=−iα
2 2
. .
. .
. .
Sumando las ecuaciones (4.58) y (4.59) se obtiene el valor de α 0
=
xx = x n x n
′ ′
1 n−1
n−1
it
α 0 = (e + e −it ) = cos t
y en consecuencia 2
y en consecuencia
Sustituyendo este ´ ultimo valor ′ ′ en (4.58) se tiene a n−1 (4.6)
a n−1
a 0 a 0
a 1 a 1
x =
x n + f
x 2 − . ..
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − − x n + f(t) (t) (4.6)
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
it
1 it −it 1 e − e −it 1
(e + e
α 1 =
)=
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. 2i = t sen(t)
t
2it
Ejemplo 4.1 4.1
Ejemplo la matriz exponencial del sistema queda como
Entonces

1
cos(t)
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
At
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden t sen(t) t = cos(t) sen(t) (4.60)
=
e

− 1 sen(t) t cos(t) − sen(t) cos(t)
t
2y − 6y +4y − y = sen(t)
2y − 6y +4y − y = sen(t)
Se calcula ahora el primer t´ ermino de (4.57) ′′ ′′ ′ ′
′′ ′′

a la forma normal. cos(t − π) sen(t − π) 1 = cos(t − π) + 2 sen(t − π)
a la forma normal.
A(t−t 0 )
e
C =
− sen(t − π) cos(t − π)
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on 2 − sen(t − π) + 2 cos(t − π)
yelt´ ermino de la integral de (4.57)
yy 11
sen(t)
− 2y +3y
y
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
y = = − 2y +3y + + sen(t)

cos(t − s) sen(t − s) 22 0 3 sen(t − s)
22
e A(t−s) F(s)= =
3 cos(t − s)
− sen(t − s) cos(t − s)
3
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
′ ′
′′ ′′
al integrar se tiene
y =
y = x = x 3 , x 3 ,
y = x =
y = x =
′ ′
′ ′
′′ ′′
′′′′′′
′ ′
′ ′

t y = x = x 2 , x 2 , t sen(t − s)ds y = xx t
1 1
3 3
2 2
3
−3(− cos(t − s))|
e A(t−s) F(s)ds = π t = t π
cos(t − s)ds
3
−3 sen(t − s)|
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
π
π
t 0

3 cos(0)) − 3 cos(t − π)
= x 1 x 1 11
x
− 2x 2 +3x 3 + +− π)
sen(t)
x = = −3 sen(0) + 3 sen(t sen(t)
′ ′
− 2x 2 +3x 3
3 3
22 22
3 − 3 cos(t − π)
=
3 sen(t − π)
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 105