Page 106 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
t
A(t−s)
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
A(t−t 0 )
4.2.2.
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
F(s)ds
e
Ahora es posible escribir la soluci´ on X(t)= e
C +
t 0
can´ onica
can´ onica
X(t)= cos(t − π) + 2 sen(t − π) + 3 − 3 cos(t − π)
3 sen(t − π)
− sen(t − π) + 2 cos(t − π)
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el

sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
3 − 2 cos(t − π) + 2 sen(t − π)
=
posible.
posible. 2 cos(t − π) + 2 sen(t − π)
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
dado que cos(t − π)= − cos(t) y sen(t − π)= − sen(t), entonces
Reducir el siguiente sistema: 3 + 2 cos(t) − 2 sen(t)
Reducir el siguiente sistema:

3 − 2(− cos(t)) + 2(− sen(t))
X(t)= =
2(− cos(t)) 2 2+ 2(− sen(t)) 2 2 t t −2 cos(t) − 2 sen(t) (4.7)
(4.7)
(D − D + 5)x +2D y =
(D − D + 5)x +2D y = e e
(4.8)
2 2
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
a la forma normal.
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
t t
2 2
2 2
(4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
2 2
2 2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
2 2
2 2
t t
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
t t
2 2
(4.11)
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
t t
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y
Dv =3t +2x −
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Dx =
Dx = u u
Dy = v v
Dy =
t t
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados
4.2.3.
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
106 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May