Page 8 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Superior, C´ alculo Diferencial y C´ alculo Integral. La segunda vertiente, presenta la resoluci´ on de ecua-

ciones diferenciales mediante el m´ etodo de la Transformada de Laplace, tambi´ en conocido como m´ etodo
operacional.
En la Parte I Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales, se definen y establecen los conceptos
fundamentales relacionados con las ecuaciones diferenciales, su clasificaci´ on y sus tipos de soluci´ on. As´ ı
mismo, se discute la interpretaci´ on geom´ etrica de los tipos de soluci´ on, del problema de valor inicial y

del teorema de existencia y unicidad. Tambi´ en se describe un m´ etodo para la obtenci´ on de la ecuaci´ on
diferencial de una familia de curvas. Diferentes ejemplos acordes a los t´ opicos tratados en esta unidad
est´ an incluidos. Se utiliza software pertinente para generar las gr´ aficas de varios ejemplos.

Las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden se estudian en la Parte II, sus propiedades se utilizan
para poder determinar la naturaleza del m´ etodo de soluci´ on a aplicar en cada caso. La mayor´ ıa de los
m´ etodos reducen la ecuaci´ on diferencial a una de variables separables, como ocurre con los cambios
de variable usados para resolver las ecuaciones diferenciales de coeficientes homog´ eneos y del mismo
grado. Tambi´ en, se realiza la prueba correspondiente del teorema que establece la condici´ on necesaria
para que una ecuaci´ on diferencial sea exacta tomando en cuenta que tienen su origen en la diferencial

exacta de una funci´ on de dos variables igualada a una constante que resulta ser la soluci´ on a encontrar.
As´ ı mismo, se determina la obtenci´ on de factores integrantes que convierten una ecuaci´ on diferencial
originalmente no exacta en exacta. Se plantea el m´ etodo de soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial lineal de
orden uno con el c´ alculo de su factor integrante, el cual se aplica a la ecuaci´ on diferencial lineal de primer
orden reduci´ endola a una ecuaci´ on diferencial de variables separables.

Se incluye como aportaci´ on de los autores, un diagrama de flujo que permite al estudiante identificar
el tipo de ecuaci´ on diferencial de primer orden a resolver y entonces seleccionar el m´ etodo de soluci´ on
pertinente. Otra aportaci´ on de los autores, incluye el uso de propiedades de los logaritmos para obtener
soluciones compactas y elegantes. Con base en las diversas estrategias de soluci´ on descritas para resolver
las ecuaciones de primer orden, se propone y aplica un m´ etodo que permite determinar las trayectorias

ortogonales a una familia de curvas dada; que adem´ as, se ilustran gr´ aficamente para su mejor compren-
si´ on.
En la Parte III se discute la teor´ ıa preliminar de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden

Superior. Se estudia un criterio que permite determinar si una familia de funciones es linealmente in-
dependiente o no. Con base en este criterio, se propone un conjunto de soluciones de tipo exponencial
que se combinan linealmente mediante el principio de superposici´ on para resolver ecuaciones diferen-
ciales lineales homog´ eneas de coeficientes constantes a partir del an´ alisis de las ra´ ıces de la ecuaci´ on
auxiliar asociada. En el caso de las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes no homog´ eneas,
su soluci´ on consta de dos partes. La primera, se conoce como soluci´ on complementaria o transitoria y
se encuentra resolviendo la ecuaci´ on diferencial de la homog´ enea asociada. La segunda, conocida co-

mo soluci´ on particular, se determina mediante dos m´ etodos posibles: el de coeficientes indeterminados
(empleando el enfoque de superposici´ on) y el de variaci´ on de par´ ametros que utiliza el determinante
Wronskiano. Se aplican los m´ etodos estudiados en diversos sistemas mec´ anicos, electricos y de defle-

Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May